刘维尔(刘维尔公式)

设y1(x)是方程的解，那么图片的公式是方程的与y1（x）线性无关的解。

方程是y"+p(x)y‘+q(x)y=0。

y1''+Py1'+Qy1=0(1)y2''+Py2'+Qy2=0(2)(1)式乘y2,(2)式乘y1，结果相减。

y2y1''-y1y2''+P(y2y1'-y1y2')=0(y2y1'-y1y2')'+P(y2y1'-y1y2')=0。

刘维尔对数论问题产生兴趣是由费马大定理开始的。

1840年，他将费马问题作了转化，证明方程un+vn=wn的不可解性意味着x2n-y2n=2xn的不可解性。

从1856年开始，刘维尔放弃了在其他方面几乎所有的数学研究，而把精力投入到数论领域。

随着各种曲线坐标系的引入和新的函数类如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)多项式等作为常微分方程的特征函数而兴起，确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数，便成为日益突出的重要问题。

刘维尔公式

刘维尔

刘维尔(Liouville，Joseph)是法国数学家。1809年3月24日生于圣奥梅尔；1882年9月8日卒于巴黎。

刘维尔1831年毕业于法国道路与桥梁工程学校。

1833年以后，先后任巴黎综合工科学校、索邦大学和法兰西学院、巴黎大学理学院的教授。

1839年当选为法国科学院院士。

1850年被选为英国皇家学会会员。

他还是彼得堡科学院的名誉院士。

刘维尔对复变函数、椭圆函数、微分方程、积分方程、代数几何、超越数、数论都作出了贡献，发表了约400篇论文，其中有200多篇是数论方面的。

刘维尔在早期，刻意扩展微分和积分的成果，尤其是建立任意阶导数的理论。

他在1834年给出了初等函数的分类。

初等函数的积分在什么条件下仍为初等函数，也是他着重研讨的问题；他关于初等函数的积分理论也许是其一切成就中最具有独创性的，因他在那个理论中证明象，，，这类积分以及第一类与第二类椭圆积分，是不能用有限个初等函数表达的。

刘维尔发展了椭圆函数论。

他在1844年阐明了从雅可比的定理出发如何建立起双周期函数的一套完整理论，这个理论是椭圆函数论的一个重要方面。

在对双周期函数的分析中他发现了椭圆函数的一个重要性质和理论上的统一观点：双周期函数是比椭圆函数更广泛的一类函数，它具有椭圆函数的基本性质。

在解析函数论中，刘维尔提出了一个重要定理：每一个有界整函数是一个常数，并以它为基础来建立他自己的椭圆函数论。他还研究了判断代数函数积分解析性的准则。

刘维尔研究了常微分方程边值问题中求解特征值和特征函数的方法。

在微分方程的教科书中，常用来证明解的存在性的所谓皮卡(Picard)逐次逼近法，其实是由刘维尔于1838年最早提出并使用的，而在50年后由皮卡推到更一般的形式。

刘维尔还研究了微分方程的边值问题，其方法现在称为斯图姆-刘维尔理论，它是20世纪数理方程和积分方程理论中的核心内容之一。

刘维尔还研究过发散级数，并提出了一个用发散级数求解微分方程的方法。

对于积分方程，刘维尔独立于阿贝尔自1832年起就陆续给出了某些特殊类型的积分方程的解。他跨出的最有意义的一步是，某些微分方程是怎样通过化成等价的积分方程来求解的。

在代数几何中，他研究过双有理变换。所谓反演变换便是出现的第一个双有理变换，其在物理上的应用首先为刘维尔所认识，并把它称之为半径互为倒数的变换。他对微分几何的重要贡献是曲面可贴性和保形变换理论。

刘维尔发现了超越数的一个充分条件，并证明了下述形式的任何一个数都是超越数。

其中是从0到9的任意整数。他是第一个证明了某些数是超越数的人。

在数论方面，他研究了代数数列的有理近似法，并取得了重要成果。

刘维尔研究过统计力学的基本定理和经典动力学方程积分的定理，其中著名的刘维尔定理是统计力学和度量理论的基础。

刘维尔1836年创办了《纯粹与应用数学》杂志，并担任该杂志编辑达40年之久。

此杂志不但以迅速传播数学的新成就著称于世，而且哺育了不少数学英才，很多著名数学家，如普吕克(Plucker)、施图姆、雅可比、狄利克雷、勒贝格(Lebesgue)等都从这个杂志受益匪浅，有的人就是从这个杂志上开始崭露头角而迈进数学家行列的。

特别是1846年该杂志率先发表被冷落多年的伽罗瓦的论文《论方程的根式可解性条件》，刘维尔并为这篇论文作序向数学界推荐，这表明了刘维尔的远见卓识。

刘维尔创办的这个杂志为促进数学的发展做出了卓越贡献，在国际上享有很好的声誉，被数学家们亲切地称为《刘维尔杂志》。

刘维尔是一位优秀的教师，他一生乐于对青年人热心指导，给予帮助，从而使他的不少学生都在学术上很有成就，例如埃尔米特就是由他发现、培养起来的一位著名数学家。

英国数学家、物理学家汤姆孙(Thomson)有一次在课堂上讲课，用了“数学家”这个词，话没有讲完就转向学生说：“你们知道数学家是什么？”他走向黑板，在上面写下：

然后，他用手指着这个公式向全班学生说：“数学家就是这样的人，他觉得这个公式很明显，就像一样，刘维尔就是这样一位数学家。"。