费米面与布里渊区边界相切(费米分布)

以自由电子状态作为起点，考虑一个微小起伏的周期势场的影响，用微扰法解薛定谔方程。

图1b是一维情况下的主要结果（图1是自由电子论中自由能级和波数的关系曲线）。

对于大多数能级，电子和自由电子相似，E－k曲线仍为抛物线，E为电子能量，k为电子波数。

曲线在某处发生间断，出现能隙，E－k曲线偏离原来的抛物线。

准连续的能级分成一些能带，电子不能具有能隙内能级的能量（即禁带），能隙宽度决定于周期势场相应的傅里叶分量，因而与该方向上的点阵周期和势函数的形式有关。

出现间断的条件相当于电子波在相应晶面反射的布喇格条件nλ=2dsinθ（d为晶面间距，θ为入射波与晶面的夹角）。

三维晶体中的能隙用布里渊区描述。

布里渊区是按照金属点阵周期性在/K/空间中划出的区域，即由原点和倒易阵点联线的垂直平分面划出的。

例如对一个简单立方点阵，以原点为中心，由六个平面包围的立方体即第一布里渊区。

由更远的阵点可构成第二、第三······等区。

图2画出第一、二两区的kx－ky截面。

每个方向上的E－k关系具有图1b的特征，可以将三维空间等能面的截面同时表示于图2中。

远离布里渊区边界的等能面保持自由电子的球面，接近区界发生偏离。

随|/K/|的增加，能量增加逐渐变缓，等能面向外突出，但不能穿过区界。

和自由电子论对照，能带理论的一个能区的ρ(E)（态密度即在电子能量E与E+ΔE之间具有的能级数）与E的关系曲线如图3所示。

在初始阶段接近抛物面，当等能面与布里渊边界接触时对应最大的态密度，此后继续提高能量只有布里渊区角上的状态可以填充，因此愈来愈少。

电子按照费米-狄拉克分布律每个能级只能有两个电子，从低能态到高能态填充布里渊区。

能区仅部分填充的，例如一价金属共有N个电子，只填充一半，则形成导体，因为能区中尚有大量空态，电子可以从外加电场获得微小附加动能向上跃迁而导电。

若电子数正好填满能区，例如2N、4N······则可能有两种情况：由于三维空间中，各方向的能隙大小可能不同，如两个区所对应的上、下能带之间有禁带相隔，即第一区各方向的最高能级均低于第二区的最低能级，则成为绝缘体；如两个能带相互重叠，即第一区有些方向的最高能级比第二区某些方向的最低能级高，此时电子在第一区未填满时就开始填充第二区，因而也可成为导体，如二价的金属；若低能带虽已填满，但禁带窄，满带顶部的电子可吸收能量而跃迁到上面的空带，变成传导电子，同时满带缺失电子的空态也可在外场作用下转移，产生空穴导电性。

本征半导体属于这个类型。

也可能由于杂质产生传导电子和空穴，如掺杂半导体。